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Séminaire 2010-2011

Séminaire 2010-2011

En direct des académies

Algorithmique : des probabilités de seconde à celles de première : introduction de la loi binomiale

Activité proposée par l'académie de Bordeaux

Le programme de Première indique :

« En pratique, on utilise une calculatrice ou un logiciel pour obtenir les valeurs des coefficients binomiaux, calculer directement des probabilités et représenter graphiquement la loi binomiale. »
« On peut simuler la loi binomiale avec un algorithme. »
 

Démarche proposée

Partir d’une situation classique de lancer de pièce pour introduire un nouveau questionnement lié à la répétition de l’expérience.

  • Une activité algorithmique progressive qui fait apparaître les paramètres et les invariants d’une nouvelle loi.
  • Un travail sur des arbres pour un petit nombre de répétitions :
    • qui valide les probabilités conjecturées par simulation.
    • qui permet de mettre en place les coefficients binomiaux comme nombres de chemins.
  • Utilisation d’un outil TICE pour calculer les probabilités de la loi binomiale et comparaison avec les résultats obtenus par simulation.
  • Reconnaissance de situations relevant de la loi binomiale et mise en évidence des paramètres.
     

Activité algorithmique 

On lance plusieurs fois une pièce et on s’intéresse à la probabilité d’obtenir un nombre donné de « Pile ».

  • Créer un premier programme nommé « lancer() » simulant 25 lancers d’une pièce bien équilibrée et retournant le nombre de « Pile ».
  • Créer un deuxième programme nommé « repete_lancers() » appelant le programme précédent et calculant le nombre de fois où l’on obtient 10 « Pile » lors de 100 simulations des 25 lancers ainsi que la fréquence d’obtention de 10 « Pile ».
  • Exécuter plusieurs fois ce programme.
  • Peut-on conjecturer la probabilité d’obtenir 10 « Pile » sur 25 lancers ?
  • Recommencer avec 10 000 simulations et conjecturer la probabilité d’obtenir 10 « Pile » sur 25 lancers.

Etape 2 : on cherche à conjecturer par simulation la probabilité d'obtenir k "Pile" lors de 25 lancers.

 

  • Sur 25 lancers a-t-on plus de chances d’obtenir 20 « Pile » que 10 « Pile » ?
  • Quel est le nombre de « Pile » que l’on a le plus de chances d’obtenir sur 25 lancers ?
  • On veut pouvoir faire afficher simultanément les fréquences d’obtention des différents nombres de « Pile » possibles afin de pouvoir les comparer.
  • Pour cela on utilise (sous Xcas) une variable de type liste qui permet de lister les fréquences d’obtention de k « Pile » avec k variant de 0 à 25.
  • Les réponses précédentes semblent-t-elles se confirmer ?
  • Commenter la répartition des fréquences obtenues.

Etape 3 : on change le nombre de lancers

  •  Dans le programme « lancers » modifier le nombre de lancers et modifier en conséquence le programme « repete_lancers » ; observer la répartition des fréquences.
  • Commenter.

 Etape 4 : on utilise une pièce truquée

  • Modifier le programme « lancers » de manière à simuler le lancer d’une pièce truquée qui n’a qu’une chance sur quatre de tomber sur « Pile » ; observer la répartition des fréquences.
  • Commenter.

Etape 5 : cas général

Le programme correspondant est fourni aux élèves.

  • Que fait ce programme?
  • Utiliser cette session pour visualiser :
    • la répartition des fréquences lors de 25 lancers d’une pièce bien équilibrée ;
    • la répartition des fréquences lors de 25 lancers d’une pièce truquée qui n’a qu’une chance sur quatre de tomber sur « Pile » ;
    • la répartition des fréquences lors de 100 lancers d’une pièce bien équilibrée ;   
    • la répartition des fréquences lors de 100 lancers d’une pièce truquée qui n’a qu’une chance sur quatre de tomber sur « Pile ».
       

 Etape 6 : d'autres situations

Avec un dé cubique

On lance plusieurs fois un dé cubique équilibré.
Peut-on utiliser la session précédente pour conjecturer la probabilité d’obtenir 10 fois le 6 lors de 50 lancers ?

Une chenille processionnaire

D'après G. Frugier - Les probabilités sans les boules

 chenille.JPGUne chenille processionnaire descend le long d’un grillage. À chaque épissure, elle prend la maille de droite une fois sur trois, celle de gauche deux fois sur trois. Elle descend ainsi quatre niveaux.

  • Quelle est la probabilité que la chenille ait pris trois fois la maille de droite sur les quatre niveaux ?
  • Quelle est la probabilité que la chenille ait pris trois fois la maille de gauche sur les quatre niveaux ?

 

Et ensuite...

  • À partir de l’exemple de la chenille, construction d’un arbre afin de calculer les probabilités et mise en place des coefficients comme nombres de chemins.
  • Institutionnalisation de la loi binomiale.
  • Utilisation d’un outil TICE pour calculer les probabilités.
  • Comparaison avec les résultats de simulation