Un rectangle dans un triangle, longueur et aires

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Brochure 1





Objectifs

Passer du cadre géométrique aux cadres numérique et graphique

- en exprimant une longueur, une aire "en fonction de..."
- en construisant de manière dynamique la courbe représentant la variation de l'aire du rectangle.



Description de la séquence :

Il s'agit d'étudier les variations de l'aire du rectangle DFGH, le point I variant sur le segment [KB].



Enoncé du problème :

Sur un segment [AC] de mesure 8 cm, on place un point K.

Le point B est situé sur la perpendiculaire en K à la droite (AC) tel que [BK] mesure 5cm.

Par un point I de [BK], on trace la parallèle à (AC) qui coupe respectivement [BA] en D et [BC] en F. La parallèle à (BK) passant par D coupe (AC) en H et la parallèle à (BK) passant par F coupe (AC) en G. I varie sur [KB], a est l'aire du rectangle HDFG.

a) Quelle est la nature du quadrilatère DFGH ? Justifier votre réponse.
b) Comparer les rapports DF/AC et BI/BK. Justifier votre réponse.

Le logiciel GeoplanW permet, grâce à des commandes, de proposer des aides graphiques à l'élève pour répondre à ces questions :


On pose ensuite DH = x et DF = y ; exprimer KI et BI en fonction de x
puis utiliser le résultat de la question b) pour démontrer que y = 1.6 (5-x).

Exprimer l'aire du rectangle DFGH en fonction de x.

On fait ensuite varier le point I sur le segment [BK]. Le point D varie alors sur [AB] et le point F varie sur [BC]. Le rectangle DFGH se trouve donc modifié. On étudie les variations de l'aire de ce rectangle.

Le logiciel GeoplanW permet d'afficher sur le même écran la figure et la courbe représentant l'aire du rectangle HDFG en fonction de l'abscisse de I.



Le logiciel GeoplanW permet de modifier la position du point I
et d'observer dynamiquement la construction du point S
ayant pour coordonnées x (longueur de [KI]) et a (aire du rectangle DFGH).

Quelle est donc la valeur de x qui donne la plus grande valeur de l'aire ?
On peut alors se demander où se trouve le point S et où se trouve le point I sur [BK] ?



Fiche élève : rectri.doc -- Fichier GeoplanW : rectri3.g2w