Approximation linéaire dans les cas de faibles pourcentages

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1ère L - Terminale STG

Il s'agit d'illustrer le fait que, dans le cas d'un taux d'accroissement t faible, l'application cumulée de ce taux n fois donne un résultat peu différent de celui qu'on obtiendrait en appliquant directement le taux nt ("approximation linéaire dans le cas de faibles pourcentages").

Pour cette activité, les connaissances préalables mathématiques concernent lesliens entre pourcentages et coefficients multiplicatifs. Cette présentation peut se situer après un travail sur des augmentations successives (par exemple après des activités sur les intérêts composés), au cours duquel les élèves ont acquis le fait que n augmentations de t% correspondent à un coefficient multiplicatif de (1+t) n.

Travail préparatoire : afin de faire comprendre les calculs et les graphiques qui seront produits par le logiciel, les élèves sont invités à calculer les coefficients multiplicatifs, puis les augmentations en pourcentage associées à une augmentation annuelle de 5 %, au bout de n années (pour n =1, n=2 et n=3, puis de représenter sur leur cahier les points d'abscisse n et d'ordonnée l'augmentation en pourcentage correspondante.



Le professeur a préalablement préparé la feuille de calcul ci-contre (fichier Excel pourc0.xls), avec les formats de cellules suivants, afin de faciliter la lecture :

B2 : % avec une décimale
B5 à B15 : nombre avec 3 décimales
C5 à D15 : % avec 1 décimale



En suivant les indications de la classe,

- il complète la valeur du coefficient multiplicatif pour n=0 ;
- il détermine la formule permettant de passer du coefficient multiplicatif de l'année n à celui de l'année n+1 ;
- il nomme t la cellule B2 ;
- il saisit une valeur de t (5%) ;
- il saisit en B6 la formule : = B5*(1+t) qu'il recopie vers le bas ;
- il détermine la formule qui donne l'évolution en pourcentage et la saisit en C5 :
= B5 - 1 puis la recopie vers le bas ;
- il calcule ce que donnerait une évolution de n l t, en saisissant en D5 la formule :
= A5*t et la recopie vers le bas,
- puis demande aux élèves de comparer les résultats numériques obtenus.



Il effectue ensuite une illustration graphique des résultats obtenus (avec l'option "Nuage de points")



Remarque : les formules indiquées ci-dessus pour le coefficient multiplicatif sont les formules par récurrence. On peut également travailler sur les formules fonctionnelles du type (1 + t) n. Cela permettra de faire remarquer la différence entre (1+t)n et 1+n t. Par ailleurs, les courbes continues sont plus aisément comparables que les points isolés. On pourra faire réfléchir les élèves sur la signification des segments qui relient les différents points.

Question : existe-t-il des valeurs de t pour lesquelles les deux courbes sont proches ?

Cela amène à modifier la valeur de t et observer les effets instantanés sur les valeurs et les graphiques... par exemple



pour t=0,5%

pour t=1%.



On peut alors élaborer le tableau suivant, pour les évolutions au bout de 10 années pour différents taux :

Fichiers Excel correspondant à la séquence :

pourc0.xls
pourc1.xls