Résolution d'équations

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Orléans-Tours





Objectifs

Analyser un tableau de valeurs et sa représentation graphique pour trouver, par essais successifs, la solution décimale ou rationnelle (ou une de ses valeurs approchées) d'une équation du type ax+b=cx+d où a, b, c, d sont des nombres décimaux relatifs.



Description de l'activité

Le texte suivant est distribué aux élèves :



Alice multiplie un nombre par 4 puis ajoute 3 au résultat obtenu.
Bertrand multiple le même nombre par 2, puis ajoute 8 au résultat obtenu.
Quand ils ont terminé, ils ont exactement le même résultat.
Quel nombre ont-ils au départ ?



Une recherche collective permet d'aboutir à l'équation : 4x  + 3 = 2x + 8

Le professeur demande aux élèves d'effectuer d'abord des essais avec quelques valeurs simples, puis propose d'utiliser l'ordinateur qui a été programmé :

- pour calculer le 1er membre et le 2ème membre de l'équation
- en choisissant la valeur initiale de x ( par exemple : -5 )
- ainsi que le pas ( par exemple : 5)

On ne trouve pas de solution apparente, mais les élèves remarquent le " rapprochement " des valeurs des deux membres ( 23 et 18 ).

On étudie alors la représentation graphique et on constate que les deux courbes se coupent pour une valeur de x comprise entre 0 et 5 :

On choisit alors de changer la valeur initiale de x et le pas en prenant d'abord 0 pour valeur initiale et un pas de 1, puis 2 pour valeur initiale et un pas de 0,1 par exemple.
On obtient alors :

On repère la solution trouvée en lisant l'abscisse du point d'intersection : x = 2,5

Deux autres problèmes du même type mais conduisant à une solution décimale plus complexe à trouver et à une solution rationnelle non décimale sont alors proposés aux élèves et traités de façon analogue.


A la fin de la séance, les élèves doivent résoudre les équations sur la fiche sur laquelle ils ont noté l'équation associée à chaque problème et la solution trouvée par l'ordinateur.

Le logiciel permet d'automatiser les calculs et les élèves peuvent se concentrer sur l'interprétation des résultats et des graphiques.

Fiches professeur et élève : activit2.doc
Fichier Works : equat2.wks