Inégalité triangulaire

Maths: Exemples d'usages / Exemple en collège / Repérage distances et angles /

Rennes





Objectifs

- Poser un problème d'existence.
- Emettre des conjectures.
- Faire une étude statistique à partir de données générées par les élèves.



Description de l'activité

Il s'agit dans un premier temps, d'essayer de construire un triangle à partir de trois segments dont les longueurs sont tirées aléatoirement.
Dans un deuxième temps, la démarche précédente est reprise en y ajoutant l'exploitation des mesures des segments.
Cette activité peut être prolongée par une étude statistique qui conduit à conjecturer qu'on a une chance sur deux de pouvoir construire un triangle.


Phase 1 : poser un problème

On essaie de construire un triangle à partir de trois segments dont les longueurs sont tirées aléatoirement.
L'expérience renouvelée plusieurs fois permet d'obtenir des commentaires de la part des élèves. Par exemple : "la donnée de trois segments ne permet pas toujours de construire un triangle".

Une issue...

Une autre issue...

Phase 2 : affiner la conjecture

- On reprend la démarche précédente en y ajoutant l'exploitation des mesures des côtés.
- On répète l'expérience jusqu'à un niveau satisfaisant de conjecture. Par exemple : "Il suffit que le plus grand côté soit plus petit que la somme des deux autres".

Phase 3 : point de vue statistique

On réalise par exemple 300 tirages comme la figure ci-contre l'illustre. On constate qu'on a pu construire 149 triangles et que le pourcentage de réussite est de
49,7 %.

Il est raisonnable de conjecturer "une chance sur deux".


L'utilisation de l'outil informatique permet de faire rapidement de nombreux tirages aléatoires, de favoriser le débat oral dans la classe et de faire une étude statistique afin d'estimer les chances de "réussite" d'une expérience.

Deux fichiers GeoplanW supplémentaires permettent de réaliser la construction du triangle au compas et de visualiser les valeurs possibles de la longueur du troisième côté lorsque deux des longueurs sont données.

1- Placer, construire

Le fichier inegtr5.g2w génère trois segments (touche A). Une construction utilisant ces segments est ébauchée. Il s'agit de l'achever, dans un premier temps avec les cercles masqués, en déplaçant deux points. Les limites du procédé sont vite atteintes. Le recours à une construction géométrique s'impose ( touche C).

2- Encadrer le troisième côté

Le fichier inegtr6.g2w génère deux segments.
Le troisième est variable (Déplacer le point C à la souris ou au clavier). Le triangle correspondant est (ou n'est pas) réalisé.

Quelques essais consolident la conjecture : "Dans un triangle non aplati, un côté est plus petit que la somme des deux autres" et mettent en évidence le fait qu'il doit être plus grand que leur différence.
Un encadrement par deux segments, somme et différence, est proposé (touche L).


Fiches professeur et élève : inegpro.doc, inegelv.doc.
Fichiers GeoplanW : inegtr1,2,3,4,5,6.g2w.