Similitudes planes

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ou

Dijon

Une série d'exercices

Chacun de ces exercices de  cette série consacrée aux similitudes planes est accompagné d'un ou plusieurs fichiers destinés

- soit à présenter le problème aux élèves afin qu'ils se l'approprient,
- soit à explorer la figure afin de conjecturer des résultats,
- soit à vérifier des résultats ou des conjectures.

Les fichiers sont réalisés à l'aide du logiciel GeoplanW et peuvent être utilisés soit en classe entière pour un travail collectif soit en salle informatique pour une recherche plus individuelle des élèves.

Un exemple de ces exercices est présenté ici.



Enoncé du problème :

On donne deux droites parallèles D et D', et un point O.
Une droite variable qui passe par O rencontre D en M et D' en M'.

Quel est le lieu du milieu C de [MM'] ?

On mène de O les droites tangentes au cercle de diamètre [MM'].

Quels sont les lieux des points de contact T et T' ?



Utilisation du fichier contact1.g2w :

On peut observer la trace du point C lorsque la droite varie autour du point O (commande C) et ainsi conjecturer le lieu de C et élaborer une méthode de démonstration.

On peut observer la trace des points T et T' lorsque la droite varie autour du point O (commande T pour T et T' seuls, commande E pour C, T et T') et ainsi conjecturer les lieux cherchés.

La démonstration correspondante n'est pas immédiate.
Des aides sont prévues pour guider les élèves qui ne parviendraient pas à en trouver l'idée.

On peut par exemple attirer l'attention des élèves sur le triangle OTC et même en obtenir une trace (commandes R et Ctrl-R)

Pour vérifier qu'il reste bien semblable à lui-même on peut afficher la valeur d'une mesure de l'angle TOC, faire varier la droite et constater ainsi que cette valeur est bien fixe (commande A).

L'idée de la démonstration est ainsi trouvée : une similitude de centre O transforme C en T.



Un second fichier, contact2.g2w, est également fourni, dans lequel les similitudes, définies à partir de D, D' et O, sont déclarées et où les lieux cherchés apparaissent comme images de D par ces transformations . L'ouverture simultanée des deux figures en mosaïque et le déplacement du point M dans la figure contact1.g2w permettent de constater qu'il s'agit bien apparemment de la même figure. Mais ceci ne constitue évidemment qu'une façon de confirmer l'analyse faite précédemment et ne dispense en rien de l'élaboration de la démonstration !

Remarque : Il est à noter que juste après leurs chargements, les deux figures sont a priori dissemblables ; ce n'est que lors de l'activation de contact1 que la figure contact2 sera automatiquement modifiée en fonction des valeurs effectives dans contact1 des variables partagées.



Prolongement possible :

Dans le cas présenté, le point O est situé à l'extérieur de la bande définie par les droites D et D'.
L'utilisation du fichier permet d'observer ce qui se passe lorsque le point O est situé entre les deux droites.
Par contre la manière dont la figure est construite ne permet pas d'observer le cas où O est sur l'une des droites.
L'étude de ce cas particulier ne présente aucune difficulté et ne nécessite donc pas l'utilisation d'un fichier informatique.

Télécharger les fichiers

D'autres exemples sont consultables sur le site de l'académie de Dijon à l'adresse :

http://www.ac-dijon.fr/pedago/maths/ressources/geometrie/transformations/similitudes/cercles_carres_droites/similitu.htm